Vorwort von Prof.Dr.med.dent.Dr.med.h.c. Erich Körber

Was gehen mich die Phänomene der Quantenmechanik an? Was können sie an meinem "so gesicherten" Weltbild ändern?
Unser Weltbild baut auf den Naturgesetzen, den Erfahrung und den Lehren aus der Geschichte auf - soweit man überhaupt bereit ist, solche anzuerkennen. Ein stattliches Gebäude; logisch, klar, zuverlässig und überschaubar- von Naturkatastrophen abgesehen. Abgesehen auch von psychischen Phänomenen in der Politik, bei Machtansprüchen und ideologisch begründeten Auswüchsen. Für letztere hat auch selbst die Chaostheorie keine Erklärung; sie lehrt uns, daß kleinste Variationen beim Beginn eines Geschehens das erwartete Ergebnis in der Zukunft völlig verändern können.

Aber selbst beim derzeitigen Weltbild, für welches in diesem Jahrhundert neue Betrachtungsweisen entstanden für die Bereiche Raum, Zeit, Kausalität und Materie, müssen wir zugeben, daß es Phänomene gibt, die unser Verständnis übersteigen. Es sind dies Erscheinungen, die wir erfahren, sogar messen können, für deren Verständnis jedoch unser Denkvermögen nicht ausreicht.
Um nur drei Beispiele zu nennen:

Bräuer beschreibt an Hand der Quantenmechanik ein Weltbild, das die großen Leistungen früherer Denker einbezieht, umreißt und anerkennt. Um nur einige zu nennen: Kant, Kopernikus, Galilei, Newton, Descartes, und im 20. Jh. Planck, Einstein, Schrödinger, Heisenberg, Bohr, Bohm u. a. Besonders geht er auf die Leistungen von Einstein, Heisenberg und Bohr ein.

Daß hier viel Mathematik und Theorie einbezogen und dargestellt wird, hat den Unterzeichner zunächst abgehalten in die Gedankenwelt einzusteigen. Im Klartext, er ist auch heute nicht in der Lage, viele der angegebenen Formeln zu begreifen oder gar nachzuvollziehen. Dennoch findet man genügend Darstellungen und Zwischenbemerkungen, die den Inhalt dieser Gedanken wiedergeben.

Der Quantenmechanik liegen unter anderem folgende Gedanken zu Grunde:

Diese für unser Verständnis nicht nachvollziehbaren Erscheinungen sind inzwischen experimentell nachgewiesen:

Ausgehend von diesen nicht unbestrittenen Erkenntnissen (M. Gell-Mann) erklärt D. Bohm in seiner "Theorie der impliziten Ordnung" die Welt als ein in sich verwobenes, riesiges vernetztes Gebilde. Ein Kontinuum mit raumzeitlich miteinander verbunde-nen Punkten. Jedes Teilchen "weiß" ohne Zeitverzögerung über die "Absicht" ande-rer Elementarteilchen Bescheid.

Dieses für uns schwer zugängliche Gebiet wird auch von anderen Denkern berührt, die die Welt als Einheit sehen, z. B. C. G. Jung, (das Kollektiv Unbewußte); R. Sheldrake, (das morphogenetische Feld); A. Goswami u. a.. Dabei werden auch Bereiche tangiert wie z. B. die Entropie, die Thermodynamik, die bewußte Wahrnehmung und Wirklichkeit, die Chaostheorie. All diese Bereiche erhalten durch die in der Quanten-mechanik beschriebenen Phänomene eine neue Bedeutung. Es gelingt Bräuer diese Ansätze darzustellen.

Eine weitere unserem Denkvermögen bisher schwer zugängliche Frage betrifft die Entstehung des Lebens. Die Frage lautet: Wie gelingt der Sprung von komplexen organischen Molekülen zur Zelle? Organische Moleküle lassen sich spektroskopisch im interstellaren Raum genügend nachweisen bis zur Aminosäure Glyzin. Wie erklä-ren sich die Entwicklungen der unterschiedlichsten Formen? Läßt sich dieser Vor-gang auf nichtlokale Schritte zurückführen? Nach Auffassung einiger Biologen kann das Problem der Entstehung des Lebens auf einer naturwissenschaftlichen, rein physikalisch-chemischen Grundlage gelöst werden.

Die Schrift gibt nicht die Antwort. Sie eröffnet jedoch den Weg zu einer Denkweise, die unser Weltbild erweitern, bereichern und verändern kann. Sie ist auch keine Lek-türe zur Unterhaltung, die man in einem Zug durchlesen könnte. Eine Schrift mit Klippen, aber es lohnt den Versuch, unsere Welt in einem neuen Blickwinkel zu sehen.


Tübingen, im Juli 2000 Prof. Dr. med. dent. Dr. med. h.c. Erich Körber

Zum Inhalt

Die Begründer der bedeutendsten physikalischen Theorien haben sich immer sehr intensiv mit der Bedeutung ihrer Theorien auseinandergesetzt. Ihre tiefgreifenden Gedanken sind ausgesprochen faszinierend und wichtig für ein Naturverständnis. Leider geht im Lauf der Zeit viel davon verloren und Mathematik und Rechentechnik gewinnt immer mehr an Bedeutung. Das kommt wohl daher, daß auf diesen Gebieten Neues möglich ist.

Das vorliegende Buch liefert eine Zusammenfassung der Gedanken vieler großer Physiker, aber auch Biologen und Psychologen. Sie alle haben sich hochqualifiziert, intensiv und tiefschürfend mit den Naturwissenschaften und ihrem Zusammenhang zur Wirklichkeit auseinandergesetzt.

Die einzelnen Kapitel führen von den eher formalen Aspekten der Quantenmechanik über zur Interpretation und zum Weltbild.

Die Physik, und damit auch die Quantenmechanik, basiert auf Symmetrien. Unabhängige Beobachter sollen zu einer einheitlichen Beschreibung der Naturphänome kommen. Daraus lassen sich alle Erhaltungssätze und Meßgrößen ableiten und die Grundgleichungen der Physik aufstellen.

Raum und Zeit erweisen sich als eine Grundbedingung dafür, daß Individuen eine gemeinsame Welt erfahren. Daraus folgen direkt die Gesetze für eine deterministische Zeitentwicklung der quantenmechanischen Wellenfunktion.

Die Quantenmechanik lehrt jedoch durch ihre Unschärferelationen und die Komplementarität verschiedener Meßgrößen, daß die Naturphänomene durch diese Symmetrien nicht vollständig festgelegt sind. Photonen oder Elektronen zum Beispiel sind weder kleine Kügelchen, die sich unter der Einwirkung verschiedener Kräfte auf Trajektorien durch die Raumzeit bewegen, noch sind sie Wellen. Sie haben keine eindeutige Wirkung. Eigentlich sind sie reine Symmetriebeziehungen, welche die beobachtbaren Phänomen so einschränken, daß viele potentielle Beobachter dasselben Phänomen erfahren können.

Zur Manifestation eindeutiger Phänomene kommt es nur im Bereich des Beobachtbaren. Zwischen Quelle und Detektor ist ein Quant nicht beobachtbar und sein Verhalten ist nicht völlig festgelegt. Die Wirkung auf den Detektor ist jedoch ein beobachtbares und damit eindeutiges Phänomen. Sie ist ein Bestandteil der erfahrbaren Wirklichkeit.

Die Reduktion unscharfer Symmetriebeziehungen zu eindeutigen Tatsachen beim Meßprozeß ist nichtlokal und irreversibel. Die Nichtlokalität ist dabei für uns nicht zu begreifen, denn die Inhalte unseres individuellen Bewußtseins werden ausschließlich aus unabhängigen, in Raum und Zeit isolierten Objekten zusammengesetzt. Hier deuten sich Einschränkungen unserer individuellen Welterfahrung an und Wolfgang Pauli sah im Erscheinen der eindeutigen Phänomene physikalische Hinweise auf ein kollektives, nichtlokales Bewußtsein im Sinne von Carl Gustav Jung.

Der irreversible Charakter des Meßprozesses hingegen ist uns sehr vertraut aus unserer täglichen Erfahrung. Wir erfahren sehr viele Abläufe, die nicht invariant unter Zeitumkehr sind. Die physikalischen Grundgesetze, also auch die Grundgleichungen der Quantenmechanik, unterliegen der Zeitumkehrsymmetrie. Die Symmetrie wird gebrochen durch das Erscheinen eindeutiger Phänomene im Rahmen des symmetrisch Möglichen.

Reduktion und Wahrnehmbarkeit spielt nicht nur in der Quantenmechanik eine entscheidende Rolle. Um die Entropie oder die Temperatur eines Gases richtig zu berechnen, muß man annehmen, daß die Gasmoleküle ununterscheidbar sind. Das bedeutet aber, daß sie sich nicht auf Trajektorien bewegen, mit Hilfe derer man sie zumindest prinzipiell unterscheiden könnte. Die Trajektorien sind nicht beobachtbar und daher sind sie keine Grundlage für Wärmephänomene. Die Moleküle bewegen sich in ihrer Gesamtheit nicht auf Trajektorien. Sie können, genauso wie die quantenmechanischen Meßergebnisse, nur statistisch erfaßt werden und die statistische Behandlung liefert entscheidend andere Ergebnisse als eine inkohärente Addition konkreter Einzelereignisse.

Nach Niels Bohr muß auch biologisches Wachstum ganz analog gesehen werden. Die physikalischen Gesetzmäßigkeiten sind nicht ausreichend, um Lebensprozesse zu erklären. Die physikalischen Gesetze bilden eine Grundlage für eine individuelle Wahrnehmung der Lebensformen. Die Formen selber bilden sich in diesem Rahmen aus, indem sie wahrnehmbar werden.

Unsere Wirklichkeit besteht aus Phänomen. Auch wenn diese fast beliebig in Teilphänomene zerlegt werden können, so ist die Wirklichkeit doch nicht aufgebaut aus Kügelchen, die sich unter Kraftwirkungen auf Trajektorien bewegen. Sie ist auch nicht vollständig berechenbar. Phänomene erscheinen als Ganzes im Lichte unseres Bewußtseins.

Daher ist die Struktur der klassischen Welt unserer Wahrnehmung auch eng verknüpft mit der Struktur unseres individuellen Bewußtseins. Dieses baut sich auf aus einzelnen Gedächtnisinhalten, die ihrer Natur nach unabhängige Objekte repräsentieren. Der nichtlokale, ganzheitliche Charakter der Manifestationen, der in Quantenexperimenten explizit nachweisbar ist, bleibt weitgehend unbewußt.

Unbewußtes manifestiert sich in Raum und Zeit, in der inneren und äußeren Welt. So dringt es ins individuelle Bewußtsein. In der Welt, also auch in unseren Mitmenschen, haben wir die Chance uns zu erkennen; unser Ego und unser ganzes Selbst.

Inhaltsverzeichnis

      Danksagung     i
      Inhaltsverzeichnis    iii
      Vorwort    v
      Überblick    vii
1.    Die Geschichte der Quantenmechanik und die Kopenhagener Deutung     1
2.    Formale Grundlagen der Quantenmechanik    17
3.    Das Quanteninterferometer    29
4.    Quantenbit und Quantenteleportation    41
5.    EPR-Experimente und die Bell'sche Ungleichung    49
6.    Die Vielwelteninterpretation der Quantenmechanik    55
7.    Pfadintegrale, die Wirkungsfunktion und das Hamilton'sche Prinzip     65
8.    Die Kausale Interpretation der Quantenmechanik    79
9.    Bewegung in der Quantenmechanik und in der klassischen Physik     95
10.    Einzelereignissen, die Symmetrie der Zeit und Chaos     109
11.    Unabhängige Beobachter und Naturgesetze    123
12.    Niels Bohr: Atomphysik und menschliche Erkenntnis     135
13.    Die mathematische Definition der Zeit    141
14.    Die Implizite Ordnung    147
15.    Das Bewußte Universum    159
16.    Die formbildende Verursachung nach Rupert Sheldrake     169
17.    Die Entstehung der Lebewesen in naturwissenschaftlicher Sicht     185
18.    Kollektiv Unbewußtes, Synchronizität und Unus Mundus     191
19.    Zahl und Zeit    203
20.    Physik und Welterfahrung    215
21.    Literaturverzeichnis    221
22.    Index    223

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Logos-Verlag Berlin 2002, ISBN-Nummer 3-89722-852-1

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Wie funktioniert das Wetter oder das menschliche Gehirn? Kann die Chaostheorie helfen, Krebs oder Arteriosklerose besser zu erkennen? Ist das Weltgeschehen durch die Gesetze der Chaostheorie festgelegt oder gibt es Freiräume, in denen Leben sich kreativ entfalten kann?

Das Buch geht solchen Fragen nach. Dabei ist das mathematische Nivea für ein Fachbuch dieser Art besonders einfach gehalten. Die graphischen Darstellungen und die Ausführlichkeit des Textes orientieren sich dabei eher an populärwissenschaftlichen Werken.

Das Buch wendet sich an alle an der Chaostheorie interessierten. Voraussetzung sind elementare mathematische Grundkenntnisse. Gedacht ist zum Beispiel an Naturwissenschaftler, Studenten,  Lehrer oder Ärzte.

Vorwort von Prof. Otto E. Rössler

Dies Buch füllt eine Lücke, da es weder im populär-Anschaulichen und Plausiblen stecken bleibt noch sofort in den nur dem Fachmann verständlichen Jargon verfällt. Es führt damit Menschen, die Fachleute werden wollen und sollen, auf humane Weise sachte heran, so dass sie es auf einmal unter der Hand sind, wenn sie das Buch aus der Hand legen. Das ist das Geheimnis eines guten Lehrbuches.

Was soll ich noch sagen? Dass ich viel gelernt habe. Dass der Autor mir sympathisch ist. Dass meine eigenen Vorurteile, was die Bedeutung des Chaos für die Wissenschaft der Zukunft angeht, geteilt oder bestätigt werden? Natürlich 'wettet' jeder anders mit der Welt und den Weg der Wissenschaft betreffend. Die Geschmäcker können und sollen nicht gleich sein. Aber ein Gespür für das Bleibende ist erwünscht, obwohl man es natürlich erst mit der Weisheit der Spätgeborenen sicher wissen kann.

Diese Sanftheit und Ausgewogenheit sehe ich in diesem Buch am Werk. Möge es Generationen von Rat suchenden ein Wegweiser sein.

    Tübingen, den 21.12.2001                Otto E. Rössler

Zum Inhalt

Es gibt einige ausgezeichnete populärwissenschaftliche Bücher über die Chaostheorie, in denen alle möglichen Anwendungen dieser Theorie anschaulich beschrieben werden. Daneben gibt es einige ausgezeichnete wissenschaftliche Bücher, in denen die Grundlagen dieser Theorie auf hohem mathematischem Niveau beschrieben werden, ohne jedoch explizit auf die Anwendungen einzugehen.

Um den Bereich zwischen diesen Angeboten zu überbrücken, behandelt das vorliegende Buch viele Anwendungen der Chaostheorie auf einfachem mathematischem Niveau und verwendet viele anschauliche graphische Darstellungen. Es wendet sich an alle an der Chaostheorie interessierten, die über elementare mathematische Kenntnisse verfügen, vor allem an Naturwissenschaftler, Lehrer und Studenten.

In einem ersten Teil über die Grundlagen der Chaostheorie geht es darum, was mit Chaos gemeint ist, was Attraktoren und was Fraktale sind und welche formalen Mechanismen all dem zugrunde liegen. Ein zweiter Teil des Buches zeigt, welche Bedeutung diese Mechanismen im Wettergeschehen, bei der biologischen Evolution, der biologischen Morphogenese und bei Gehirnfunktionen haben.

Ein wesentlicher Abschnitt umfasst dann die Beschreibung, wie komplexe oder chaotische Zusammenhänge in der Natur aufgespürt werden können. Aus Messreihen, zum Beispiel über die Durchblutung der menschlichen Haut, können wegen diesen Zusammenhängen alle möglichen Einflüsse auf die Messgröße rekonstruiert werden. Beim Blutfluss sind dies: Einflüsse der Verkalkung von Blutadern, des Herzschlages, der Atmung oder der nervösen Steuerung der Durchblutung. Dies ermöglicht das frühzeitige Erkennen der unterschiedlichsten Krankheiten wie Hautkrebs oder Arteriosklerose.

Vor allem am Ende des Buches werden weltanschauliche Aspekte der Chaostheorie diskutiert. Man geht ganz selbstverständlich davon aus, dass auch in chaotischen Systemen ein zwar schwacher, jedoch eindeutiger Zusammenhang zwischen Ursache und Wirkung besteht. Die mathematischen Modelle scheinen das nahe zu legen. Dieser eindeutige Zusammenhang kann jedoch grundsätzlich weder in der Natur direkt noch in Computersimulationen verifiziert werden. Im Hinblick auf die vorausgehenden Kapitel und auch auf quantenmechanische Phänomene wird daher ein Weltbild vertreten, in dem Naturgesetze das Weltgeschehen nicht festlegen, sondern vielmehr einen ordnenden Rahmen bilden, in dem sich Leben frei entfaltet.

Inhaltsverzeichnis

Danksagung    i
Vorwort    iii
Inhalt    v

1.    Einleitung
2.    Nichtlineare dynamische Modelle und ihre wesentlichen Eigenschaften
3.    Die logistische Abbildung als einfaches, allgemeines Beispiel
4.    Fraktale
5.    Seltsame Attraktoren 
6.    Hamilton'sche Systeme 
7.    Dissipative Systeme
8.    Grundlagen der Hydrodynamik
9.    Das Wettermodell von Lorenz und sein Attraktor
10.    Das Aktivator-Inhibitor-Modell
11.    Evolutionsmodelle
12.    Neuronale Netze
13.    Analyse chaotischer Zeitreihen 
14.    Anwendungen der nichtlinearen Zeitreihenanalyse in der Hautmedizin
15.    Chaos und die dingliche Welt
16.    Literaturhinweise
17.    Index

Probekapitel:       13_ZeitReiA.pdf    14_Hautdurchblutung.pdf

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Alfred Rieckers, Kurt Bräuer

Einladung zur Mathematik

Eine mathematische Einführung und Begleitung zum Studium der Physik und Informatik

Inhalt:

Mathematik ist eine unentbehrliche Grundlage für die meisten der heutigen wissenschaftlichen Disziplinen. Die vorliegende Darstellung einiger mathematischer Gebiete wendet sich zwar in erster Linie an Physik-- und Informatikstudenten, kann aber auch für andere Studienrichtungen nützlich sein. Aus der Einbettung der mathematischen Strukturen in historische und naturwissenschaftliche Zusammenhänge mag auch ein allgemein mathematisch interessierter Leser seinen Gewinn ziehen.

Ungewöhnlich ausführlich wird die Begründung der Zahlen behandelt, nachdem kurz die Grundbegriffe der Mengenlehre zusammengestellt wurden. Schon aus der strikt eingehaltenen Systematik geht hervor, dass alle Zahlen -- auch die irrationalen, transzendenten und imaginären -- durch die natürlichen Zahlen definiert werden, wodurch sie - wenigstens zum Teil - ihres mysteriösen Charakters beraubt werden. Die Dezimalbruch-Darstellung, sowie allgemeiner die q-adische Darstellung, der reellen Zahlen wird - wegen der aktuellen Bedeutung beim Computer-Rechnen - erklärt, wobei einige Aspekte bei den unendlichen Reihen später noch nachgetragen werden. Die Überabzählbarkeit, Vollständigkeit und Dichtheit dieses Kontinuums der reellen Zahlen wird erläutert und teilweise bewiesen.

Die Euklidische Vektorrechnung wird mit der Besprechung der historischen Euklidischen Axiome eingeleitet. Die eigentliche Vektorrechnung arbeitet mit reellen Tripeln, wobei die dreidimensionale Matrizen- und Determinanten-Theorie eigenständig aufgebaut wird. In einem späteren Abschnitt erst werden die Rechenregeln für Matrizen und Determinaten im n-dimensinalen Raum bewiesen. Großen Wert wird auf die klare Definition der physikalischen Vektoren gelegt.

Die Infinitesimalrechnung wird ausgehend vom schulischen Niveau umfassend dargestellt und an Hand von vielen Beispielen erläutert, die hauptsächlich aus dem Bereich der Physik und der Informationstheorie stammen. So werden ganz nebenbei Grundbegriffe eines mechanischen oder thermodynamischen Systems oder der Sinn eines Informationsmaßes erläutert.

Zur Vorbereitung der Extremalkriterien von Funktionen mehrerer Veränderlicher werden die Kurven im n-dimensionalen Raum und die Integrale darüber eingeführt. Dies leitet zu allgemeinen Gradientenfeldern und potentialtheoretischen Begriffen über. Die Verwendung n-dimensionaler Vektoren erlaubt eine kompakte Darstellung der mechanischen Grundgleichungen. Der Hauptsatz über implizite Funktionen ermöglicht die Behandlung von Extremalproblemen mit Nebenbedingungen. Die Konvexitätskriterien, die mit Extremalkriterien eng verwandt sind, werden u.a. in origineller Weise mit Hilfe von Legendretransformierten formuliert. Dadurch wird die Bildung der zahlreichen gemischten Ableitungen umgangen, die sonst bei kritischen Punkten höherer Ordnung ins Spiel kommen. Die Fencheltransformation begründet als Verallgemeinerung der Legendretransformation die Dualitätstheorie beliebiger konvexer und konkaver Funktionen und spannt den Rahmen für die konvexe Analysis und die thermodynamischen Potentiale auf.

Nachdem die mehrdimensionale Integration eingeführt wurde, kann die eigentliche dreidimensionale Vektoranalysis mit den fundamentalen Integralsätzen von Gauß und Stokes behandelt werden. Die physikalischen Bedeutungen der Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes werden ausführlich erläutert und veranschaulicht. Die Systematik bei der Herleitung der Differentiationsformeln für Vektorfelder wird offengelegt und die Anwendung auf die Greensche Potentialtheorie angedeutet.

Bei der Besprechung der Fouriertransformation werden neben den grundlegenden Tatsachen einige mathematische Feinheiten ausgeführt, die schon zu dem Gebiet der Funktionalanalysis gehören, die aber für Anwendungen (z.B. in der Regelungstheorie) durchaus nützlich sein können. Die Distributionstheorie wird sowohl in der Sprache des Physikers als auch in der Ausdrucksweise des Funktionalanalytikers dargestellt. Sie erweitert die Analysis beträchtlich und hat bei den Fouriertransformationen besonders spektakuläre Anwendungen wie z. B. bei der Transformation des Dirac-Kamms (Signaltheorie).

Die Wahrscheinlichkeitstheorie wird für Ereignismengen (Borelmengen) im eindimensionalen reellen Raum entwickelt. Für die Mittelwertsbildung wird die Lebesgue-Integration eingeführt. Die konvexe Menge der Wahrscheinlichkeitsverteilungen wird in Form von Maßen, verallgemeinerten Wahrscheinlichkeitsdichten (Distributionen), Verteilungsfunktionen und erzeugenden Funktionen realisiert. Die eindeutige Zerlegung der Verteilungen in diskrete, absolut stetige und singulär stetige Komponenten wird ausgeführt. Es wird gezeigt, auf welcher konvexen Teilmenge von Verteilungen die Entropie (Informationsverlust) und Relativentropie definiert sind. Das Momentenproblem und das Approximationsverfahren von Verteilungen durch Entropie--Maximierung werden besprochen.

Es wird eine Auswahl von Abschnitten gekennzeichnet, die sich als Grundlage für einen 14-tägigen mathematischen Vorbereitungskurs zum Studium der Physik und Informatik eignet.

Teilnehmer am

                     'Mathematischen Vorbereitungskurs für Studienanfänger in Physik und Informatik'

können das Buch bei den Gruppenleitern zu einem Sonderpreis erwerben.

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Lösungen zu den Übungsaufgaben